noncomputable def GaussianStability.thresholdAtLevel (t : ℝ) : ℝ → ℝ

noncomputable def GaussianStability.thresholdFn (c : ℝ) : ℝ → ℝ

theorem GaussianStability.thresholdAtLevel_range (t x : ℝ) : thresholdAtLevel t x ∈ Set.Icc (-1) 1

theorem GaussianStability.thresholdFn_range (c x : ℝ) : thresholdFn c x ∈ Set.Icc (-1) 1

theorem GaussianStability.one_dim_noise_stability_le_threshold (g : ℝ → ℝ) (hg_range : ∀ (x : ℝ), g x ∈ Set.Icc (-1) 1) (c : ℝ) (hg_mean : ∫ (x : ℝ), g x ∂ProbabilityTheory.gaussianReal 0 1 = c) (ρ : ℝ) (hρ₀ : 0 ≤ ρ) (hρ₁ : ρ ≤ 1) : ∫ (x : ℝ), g x * ∫ (z : ℝ), g (ρ * x + √(1 - ρ ^ 2) * z) ∂ProbabilityTheory.gaussianReal 0 1 ∂ProbabilityTheory.gaussianReal 0 1 ≤ ∫ (x : ℝ), thresholdFn c x * ∫ (z : ℝ), thresholdFn c (ρ * x + √(1 - ρ ^ 2) * z) ∂ProbabilityTheory.gaussianReal 0 1 ∂ProbabilityTheory.gaussianReal 0 1